Фелікс Кляйн народився 25 квітня 1849 в Дюссельдорфі. Тут він закінчив гімназію, а 1865 вступив до Боннського університету. Дисертацію з геометрії Кляйн захистив 1868. Від початку своєї кар’єри він демонстрував рідкісне поєднання творчих і організаторських здібностей, а також яскраво виражене прагнення руйнувати бар’єри між чистою і прикладною наукою. Інтереси Кляйна стосувалися всієї математики. Геометрія, теорія чисел, теорія груп, алгебра і теорія інваріантів – усе було залучено до його головної роботи – розвитку й завершенню великих ідей Рімана в геометричній теорії функцій. Вінцем цієї роботи була його теорія автоморфних функцій.

Ф. Кляйн – не лише видатний учений, талановитий популяризатор математики, а й визначний реформатор математичної освіти світового масштабу, один із авторів так званих «Меранських програм». Суть цих програм: викладання математики має будуватися на основі врахування психологічних закономірностей засвоєння математичного знання; увесь навчальний матеріал має бути пройнятий ідеєю функціональної залежності величин у їх геометричному освітленні; учні мають систематично знайомитись із прикладними питаннями математики. Проєкти реформування шкільного й університетського викладання математики, розроблені під керівництвом і за особистою участю Кляйна, загальновизнані. Кращі його ідеї реалізовані, але деякі принципово важливі, наприклад, щодо розумного розподілу навчального часу між гуманітарним і природничо-математичними циклами дисциплін, залишаються актуальними й зараз.

Ф. Кляйн був прихильником ширшої, ніж це було тоді, математичної освіти. Він уважав за необхідне у викладанні приділяти увагу розкриттю логічних основ курсів, історичних зв’язків, ідей, фактів, методів, рекомендував іншим, зокрема майбутнім учителям «…вказувати на історичний розвиток науки, на досягнення її великих основоположників».

Багатогранна організаторська і громадська діяльність Кляйна. Майже 50 років він був головним редактором одного з основних математичних журналів «Mathematische Annalen», багато зробив для створення «Енциклопедії математичних наук».

Своєрідною лебединою піснею Кляйна стали його «Лекції про розвиток математики в XIX столітті», які він читав у 1914–19. У передмові до видання цих лекцій подано характеристику його творчості і самої особистості Кляйна: «Ці лекції є зрілим плодом багатого життя, проведеного в центрі наукових подій, виразом зворушливої мудрості і глибокого історичного розуміння, високої людської культури і майстерного дару викладу».

Ф. Кляйн помер 22 червня 1925. На його могилі – простий напис: «Фелікс Кляйн. Друг, Щирий і Незмінний».